Запропоновано нетрадиційний підхід до побудови двосторонніх ітераційних процесів розв'язування нелінійних рівнянь. Спосіб полягає у дослідженні деякого допоміжного нелінійного рівняння, яке має ті самі розв'язки, що й вихідне. На основі встановлених властивостей допоміжного рівняння побудовано ітераційний процес розв'язування вихідного рівняння та обгрунтовано його збіжність.

Обгрунтовано простий і ефективний з точки зору обчислення критерій розміщення всіх коренів деякого класу алгебричних поліномів всередині одиничного кола.

Запропоновано алгоритм знаходження кількості кратних коренів заданого алгебричного полінома довільного степеня з дійсними або комплексними коефіцієнтами. Для цього використано лише інформацію про коефіцієнти полінома.

Запропоновано метод розкладу алгебричного полінома з дійсними або комплексними коефіцієнтами на множники. Побудовано числовий алгоритм, який поряд з розкладом полінома з кратними коренями на множники розв'язує задачу знаходження кратностей і кількості кратних коренів полінома.

Для двопараметричної спектральної задачі в скінченновимірному дійсному гільбертовому просторі на основі градієнтної процедури запропоновано числовий метод знаходження її власних значень і власних векторів.

Запропоновано та обгрунтовано ітераційний процес обчислення простого власного значення нелінійної спектральної задачі. Виділено клас нелінійних спектральних задач, для яких запропонований ітераційний процес за власним значенням забезпечує почергові двосторонні наближення до простого власного значення, та клас задач, для якого цей самий ітераційний процес дає лише односторонні монотонні наближення.

Запропоновано двосторонній аналог методу обернених ітерацій для розв'язування задач на власні значення з нелінійним спектральним параметром. Побудовано та обгрунтовано ітераційні процеси двосторонніх наближень до простого власного значення нелінійної спектральної задачі. Одержано умови на початкове наближення, які гарантують квадратичну збіжність ітераційного процесу почергових наближень до власного значення.

Багатопараметричній спектральній задачі у скінченновимірному дійсному гільбертовому просторі ставиться у відповідність варіаційна задача на мінімум деякого функціонала. Доведено еквівалентність спектральної та варіаційної задач. На базі градієнтної процедури запропоновано числовий алгоритм знаходження її власних значень і власних векторів.

Запропоновано ітераційний алгоритм знаходження двосторонніх (альтернуючих) наближень до власних значень нелінійних спектральних задач, у якому використано двосторонній аналог методу Ньютона та нову ефективну числову процедуру обчислення ньютонівської поправки та її похідної.

Розглянуто ітераційний алгоритм знаходження власних значень нелінійних спектральних задач, який використовує метод Ньютона і нову ефективну числову процедуру обчислення ньютонівської поправки. Наведено числові приклади.

Розглянуто ітераційний алгоритм знаходження власних значень алгебричної двопараметричної спектральної задачі, в якому використовується метод Ньютона та ефективна числова процедура обчислення похідної від детермінанта. Наведено числові приклади.

Многопараметрической спектральной задаче в действительном евклидовом пространстве поставлена в соответствие вариационная задача на минимум некоторого функционала. Установлена эквивалентность спектральной и вариационной задач. На основании градиентной процедуры предложен численный алгоритм нахождения ее собственных значений и собственных векторов. Доказана локальная сходимость алгоритма.

Розглянуто ітераційний алгоритм знаходження кривих власних значень лінійної алгебричної двопараметричної спектральної задачі, який використовує алгоритм знаходження усіх власних значень у заданій області зміни спектральних параметрів, що базується на ефективній числовій процедурі обчислення похідних детермінанта матриці. Наведено числові приклади.

Обгрунтовано двосторонні аналоги методу Ньютона для знаходження власних значень нелінійних спектральних задач. Вперше досліджено нові властивості методу Геллі. Запропоновано нову ефективну чисельну процедуру обчислення похідних (першої та другої) від детермінанта алгебраїчної спектральної задачі, не розкриваючи самого детермінанта. Використовуючи чисельну процедуру обчислення похідних від детермінанта матриці, побудовано алгоритм, який дозволяє обчислити кількість власних значень спектральної задачі, які знаходяться в заданій області комплексної площини та деяке наближення до кожного з них. Запропоновано нову модифікацію алгоритму побудови кривих власних значень лінійних та нелінійних за спектральними параметрами двопараметричних задач на власні значення, який дозволяє знайти всі власні криві, які попадають у задану область зміни спектральних параметрів задачі. Запропоновано й обгрунтовано варіаційний підхід до розв'язування лінійних і нелінійних багатопараметричних (двопараметричних) спектральних задач в абстрактному гільбертовому просторі. Вперше застосовано ітераційні процеси двосторонніх наближень до власних значень для знаходження точок галуження розв'язків нелінійних інтегральних рівнянь, що виникають у задачах синтезу випромінюючих систем за заданою амплітудною діаграмою напрямленості.

Нелінійній багатопараметричній спектральній задачі у дійсному абстрактному гільбертовому просторі ставиться у відповідність варіаційна задача на мінімум деякого функціонала. Доведено еквівалентність спектральної та варіаційної задач. На базі модифікованого методу Ньютона запропоновано числовий алгоритм знаходження її власних значень та власних векторів.

Розглянуто ітераційні алгоритми знаходження кривих власних значень та їх точок біфуркації нелінійної алгебричної двопараметричної спектральної задачі, яка виникає у процесі розв'язуванні задачі синтезу плоских антенних граток за заданою амплітудною діаграмою напрямленості. В основі алгоритмів - числова процедура обчислення звичайних і частинних похідних детермінанта матриці та алгоритм знаходження усіх власних значень у заданій області зміни спектральних параметрів. Наведено результати числових експериментів.

Розглянуто матричну обернену задачу на власні значення. Для числового розв'язання цієї задачі запропоновано алгоритм на базі ітераційного процесу Ньютона, у якому для побудови якобіана використовується числова процедура обчислення точних похідних від детермінанта матриці.

Індекс рубрикатора НБУВ: В192.18

Рубрики:

Метод ітерації

Шифр НБУВ: Ж22412/а Пошук видання у каталогах НБУВ 

An algorithm of determination of the multiplicities of all roots of a given algebraic polynomial of arbitrary degree with real or complex coefficients is offered. Thus, the information only about the coefficients of a polynomial is used.

A nonconventional approach to design the methods of bilateral approximations for the solution of nonlinear eigenvalue problems is proposed. The algorithm is constructed, and the conditions on an initial approximation which guarantees the convergence of the iterative process of alternating approximations to an eigenvalue are obtained.